INTRODUCCIÓN
La resolución de problemas matemáticos hace
parte del propósito de formación de los estudiantes en todo el ciclo educativo,
iniciando en los primeros años escolares y extendiéndose hasta la universidad,
de modo que se convierte en un componente fundamental y obligatorio en los
currículos pedagógicos, especialmente en los niveles de básica y media.
En Colombia desde la implementación de
la ley 115 de 1991 se ha venido investigando sobre cómo a partir de este
componente se pueden suplir las necesidades de una educación básica de calidad
para todos los ciudadanos y el valor social ampliado de una educación
matemática que responda a la consolidación de valores sociales propios de los
procesos democráticos. Lo anterior conlleva a que los procesos de la enseñanza
de las matemáticas sean espacios donde el docente y el estudiante interactúen
para construir conocimiento y que este pueda ser aplicado en diversas
situaciones y contextos (Ministerio de Educación Nacional, 2006).
No obstante, el tiempo transcurre y los resultados
en evaluaciones internas y externas evidencian un bajo desempeño de los
escolares y en un mundo como el actual, globalizado y tecnológicamente más
desarrollado, es aún más necesario o se hace imperativo que los escolares
desarrollen las competencias y capacidades metacognitivas y de autorregulación
del aprendizaje y mejoren los desempeños en el campo de las matemáticas.
De hecho, el Programa para la Evaluación
Internacional de Alumnos (PISA) aplicó en el año 2018 una prueba estandarizada
a 32 países miembros de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo
Económico (OCDE) con el propósito de evaluar las competencias y conocimientos en
resolución de problemas matemáticos a estudiantes matriculados en los
diferentes sistemas educativos. Dichos resultados no fueron alentadores, tan
solo el 21% de los estudiantes colombianos lograron interpretar y reconocer
situaciones en contexto que solo requieren de una inferencia directa, al mismo
tiempo logran extraer información de una única fuente y usan un solo modo de
interpretación. En esta misma prueba solo el 3% sabe integrar diferentes
representaciones, incluidas las simbólicas, asociándolas directamente al mundo
real, además, pueden utilizar su gama de competencias y razonar en contextos
sencillos para comunicar explicaciones y argumentos basados en sus
interpretaciones (OCDE, 2019).
Con estos resultados se puede evidenciar
que las matemáticas al interior de muchos planteles educativos se vienen
desarrollando únicamente de manera instrumental, planteando actividades que
solo buscan la identificación de algoritmos y la realización de ejercicios
mecánicos, repetitivos y memorísticos carentes de significado y aislados de la
vida cotidiana; llevando de esta manera a que el maestro sea concebido como un
“transmisor” y el estudiante solo un receptor y repetidor. Debido a esta forma
de enseñanza el estudiante observa las matemáticas como un conjunto de
procedimientos que deben ser aprendidos sin oportunidades para hacer conjeturas
y desarrollar competencias a través de actividades metacognitivas y resolución
de problemas.
Otro aspecto que se presenta a la hora
de abordar problemas matemáticos es que no se plantean diversas estrategias
para que el estudiante se motive y desarrolle adecuadamente sus habilidades
cognitivas, sino que generalmente la planeación pedagógica se estructura con
poco nivel de dificultad y un bajo nivel de pensamiento, por tanto, no se busca
una comprensión, sino solo la mecanización de algoritmos. Estos problemas
planteados en el aula de clase solo tienen una única respuesta y no se tiene en
cuenta el proceso que se llevó a cabo para su solución ni las bases
conceptuales que involucró esta resolución. Además, alejan al alumno del
contexto real con datos y problemas fuera de lo que se percibe en su
cotidianidad (Alvarado y Núñez, 2018).
Lo anterior, pone en evidencia la
necesidad de realizar en las aulas de clase una búsqueda consciente de acciones
apropiadas para lograr los objetivos claramente establecidos, pero no
alcanzables de manera inmediata. Respondiendo a los planteamientos matemáticos
con una serie de fases que van desde la compresión del enunciado, la
identificación de términos relevantes, la formulación de hipótesis en el
planteamiento de los ejercicios y la ejecución de los métodos de solución
(Ortega, 2018).
Además, los procesos resolutorios
requieren una serie de destrezas que involucran la comprensión y asimilación de
un conjunto de procesos y conceptos relacionados entre sí para ser
representados, aplicados a reglas, símbolos y conocimientos de un lenguaje a
otro. Con estos parámetros, los estudiantes logran habituarse a las expresiones
y las palabras descritas en el enunciado, articulándolas a planteamientos que consigan
dar origen a la formulación de operaciones matemáticas y de cierta manera
responder correctamente a los cuestionamientos planteados en los ejercicios
(Ortega, 2018, p. 9).
Por tanto, al resolver problemas
matemáticos es importante articular el área de lenguaje como apoyo en la
comprensión e interpretación de los enunciados problema, logrando así, la
apropiación de las competencias comunicativas necesarias en la construcción de
los planteamientos requeridos en el proceso resolutorio (Ortega, 2018).
Resolución de
problemas
matemáticos.
El término resolución de problemas cuenta
como muchos significados conceptuales, existiendo un sin número de información
científica relacionada con la concepción de los problemas matemáticos y su
funcionalidad dentro de los procesos mentales realizados por los estudiantes (Pérez
y Ramírez, 2011). Asimismo, Vega (1992) establece una situación problema como
aquella que “exige del resolutor una forma intensa de su actividad
cognoscitiva, es decir, que se emplee a fondo, desde el punto de vista de la
búsqueda activa, el razonamiento y elaboración de hipótesis, entre otras” (p.
15).
La resolución de problemas en el
contexto educativo normalmente involucra aquellos escenarios al interior del
área de las matemáticas, lo cual ha dado una nueva connotación curricular al
tratar de vincular al estudiante en situaciones donde los conocimientos
adquiridos juegan un papel relevante para solucionar de manera adecuada los
planteamientos sugeridos por el docente; observándose la aplicación de lo
aprendido como un requisito previo al aprendizaje significativo (Cárdenas y
González, 2016)
En este contexto, los problemas
matemáticos se articulan a los procesos formativos con el propósito de conseguir
en los estudiantes la capacidad de analizar nuevas formas y maneras de abordar
situaciones cotidianas que requieran planteamientos matemáticos centrados en la
motivación y la experiencia. Esto es, al abordar el concepto de aprendizaje
significativo se infiere sobre los aprendizajes adquiridos (pasado), sumado a
las nuevas enseñanzas que el estudiante adquiere, para que, mediante dicha
fusión entre lo pasado y lo adquirido, el alumnado logre una solución del
problema invocando su comprensión lectora pero ya desde lo inferencial y lo
critico, lo que supera a la metamemoria como fuente o proceso inverso a la
metacognición (Kilpatrick, citado en Contreras, 2005).
Por su parte, Rohn (citado por Pérez y
Ramírez, 2011) “concibe un problema como un sistema de proposiciones y
preguntas que reflejen la situación objetiva existente, las proposiciones
representan los elementos y relaciones dadas (qué se conoce) mientras que las
preguntas indican los elementos y las relaciones desconocidas (qué se busca)” (p.
172). A esto se complementa lo expresado por Urdiain (2006), un problema
matemático “es una situación que el individuo o grupo quiere o necesita
resolver y para lo cual no dispone en principio de un camino rápido y directo
que lo lleve a la solución” (p. 20). También se relacionan a sucesos en los
cuales los escolares deben construir un planteamiento matemático lógico en
respuesta a diferentes cuestionamientos del enunciado (Chi y Glaser 1983,
citado por Poggioli, 1999).
Bajo estos parámetros, la resolución de
problemas matemáticos es una de las actividades más complejas e importantes del
acto pedagógico; los contenidos asimilados por los estudiantes en el proceso de
enseñanza cobran sentido al momento de enfrentarse a situaciones
problematizadoras en las cuales se debe razonar y explicar la forma de abordar
la actividad, lo que deja en evidencia las dificultades que el propio proceso
de resolución de problemas conlleva. Dichas dificultades se relacionan con la
falta de asimilación de contenidos o el desconocimiento de conceptos; también
la falta de información explícita en el texto limita la comprensión del
enunciado haciendo confusa la solución de la actividad propuesta. No obstante,
estos elementos suponen una importante fuente de información para dar a conocer
los aspectos que se deben incorporar nuevamente en los planes de enseñanza y
aprendizaje (Urdiain, 2006).
En tal sentido, autores como Poggioli
(1999) han establecido parámetros claros a la hora de resolver situaciones
problema, los cuales incluyen: la planificación del trabajo a través de la
identificación de información relevante en el texto, la organización de la
información mediane esquemas mentales, la aplicación de los procedimientos
matemáticos necesarios, la verificación de los resultados obtenidos y la
revisión de todo el trabajo desarrollado, buscando la reflexión y la aplicación
de lo aprendido en múltiples contextos.
Según Vergnaud (1994), dentro de los
enunciados problema se configuran un conjunto de situaciones de
proporcionalidad simple o múltiple en los cuales se hace necesario realizar una
multiplicación, una repartición o una mezcla entre ambas. En estas operaciones
se involucran diferentes conceptos matemáticos relacionados con las fracciones,
la proporcionalidad, el número racional, la multiplicación y la división.
Asimismo, dichas situaciones logran expresarse en diversas formas a nivel de
enunciado, sea verbal, gráfico o mixto (Forero y Castaño, 2011).
De igual forma, Vergnaud (1994)
establece una diferencia marcada entre el concepto de "ejercicio" y
el concepto de "problema". Cuando se dispone a la resolución de un
ejercicio, se acude regularmente a procedimientos rutinarios que lo llevan a la
respuesta, caso por ejemplo la presentación de una operación básica matemática
o las tradicionales tablas de multiplicar, pero caso contrario se presenta
cuando se requiere de la resolución de un enunciado problema donde ya no se
establece la operación numérica básica sino que se incluyen enunciados con
cierto nivel de complejidad que demandan, en primer lugar, contar con las competencias
en comprensión lectora para lograr discernir sobre el mismo. Esto es, para
resolver un problema, se hace pausas, se reflexiona y hasta darse el caso que
se acuda a procedimientos o etapas a las cuales nunca se había tenido dicha
experiencia, esto es, despierta la creatividad y otras competencias cognitivas
y no la metamemoria.
La particularidad de realizar un
problema y no un ejercicio radica en entender que no existen reglas generales
que permitan desarrollar la actividad de la misma forma, en consecuencia, se
deben consultar fuentes alternas, estudiar procedimientos, realizar mapas
mentales y planificar diferentes etapas de razonamiento (Pólya, 1965).
Además, hacer ejercicios rutinarios es
muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas, ayuda a desarrollar
ejercicios en poco tiempo de manera mecánica afianzando al estudiante en los
procedimientos necesarios cuando se enfrenta a la tarea de resolver problemas,
sin embargo, condicionar al estudiante a problemas de este tipo limitaría la
imaginación a nuevas formas de construir conocimiento (Pólya, 1965).
Método Pólya
Las metodologías más utilizadas en la
resolución de problemas matemáticos con resultados exitosos son el método
propuesto por Pólya (1945), el cual se dio en pleno período de la segunda
guerra mundial, año 1945 y posteriormente los aportes ofrecidos por Schoenfeld
(1987), como modelos didácticos aceptados mundialmente para el desarrollo de
los aprendizajes en el área de las matemáticas. Por su parte, Pólya (1945) establece
la actividad o tarea de resolver un problema a través de “encontrar un camino
allí donde no se conocía previamente camino alguno”, paso seguido, encontrar la
forma de salir de una dificultad, encontrar la forma de sortear un obstáculo,
conseguir el fin deseado, que no es conseguible de forma inmediata, utilizando
los medios adecuados.
Se trata, por lo tanto, de generar y
potencializar en el alumno sus competencias creativas y la motivación
suficiente para la investigación, la exploración y la generación de
alternativas, lo que ello implica como requisito dentro del modelo pedagógico
actual, fortalecer previamente la comprensión lectora para una adecuada
lectura, interpretación y planeación en la resolución del problema. Se trata de
involucrar o hacer partícipe como actor principal al alumno en la solución de
problemas, para lo cual propone en su método agotar los siguientes cuatro
pasos: 1. Entender el problema, 2. Configurar un plan, 3. Ejecutar el plan, 4.
Examinar la solución obtenida.
Así, de manera intencional y con los
recursos adecuados, es importante agotar cada uno de los cuatro pasos que lo
conforman: Paso (1) entender el problema como parte inicial que a la vez
demanda del estudiante un análisis global de cada uno de los términos
descritos, estableciendo la necesidad de decodificar los símbolos en
información relevante que derive en las operaciones necesarias del problema y
luego una vez superada la primera parte, escalar a la configuración de un plan
con la información recopilada en el paso uno, la cual está relacionada con las
variables y la definición de los algoritmos necesarios para proceder a su
ejecución (paso 3) y culminar en el paso 4, examinar la solución obtenida
mediante una comprensión crítica que le permita al alumno emitir juicios,
positivos o negativos sobre el problema y la solución lograda.
La mayor contribución de Pólya en la
enseñanza de las matemáticas es su método de cuatro pasos para resolver
problemas, el cual, requiere la aplicación de una metodología que estructure
dicho proceso por lo cual, se deben adoptar talleres motivantes con la implementación
de diferentes recursos didácticos en el planteamiento del problema, así como el
trabajo en equipo y el valorar los avances de los estudiantes en los proceso
resolutorios (Juidías y Rodríguez, 2007).
Además, Pólya (1945) no solo utiliza y
supera cada una de las etapas que demanda la resolución de un problema sino que
además, se apropia del razonamiento heurístico, en el cual el alumno se
enfrenta a problemas desconocidos o poco frecuentes, lo que favorece nuevas
estrategias cognitivas o metacognitivas (formas de aprender) con el fin de ir
trascendiendo sobre la comprensión y solución de problemas, caso dibujar mapas
conceptuales o figuras, realizar anotaciones u observaciones para ser
consideradas posteriormente, retomar situaciones de problemas relacionados en
la actualidad o situaciones pasadas, explorar analogías, apoyarse en trabajar
con problemas auxiliares, intervenir o reformular el problema, introducir
elementos auxiliares en un problema, generalizar, especializar, variar el
problema, trabajar hacia atrás, en fin, un sinnúmero de estrategias que como
factor común tiene la capacidad creativa del estudiante para enfrentar
situaciones que en último caso podrían ser situaciones adversas de su mundo
natural.
También, al aplicar el método Pólya se
refuerzan las percepciones y conductas positivas de los estudiantes frente a
los procesos matemáticos. En líneas generales los educandos consideran que para
desarrollar las cuatro fases del proceso es importante contar con buen tiempo,
paciencia, perseverancia y un gran esfuerzo. También expresan la importancia de
no rendirse en caso de no encontrar la respuesta y tratar de buscar nuevas
formas y métodos de hallar la solución al problema planteado, esta estrategia
favorece los avances en el proceso formativo al dar relevancia al planteamiento
y no al resultado. Además, la curiosidad de los estudiantes por conocer la
respuesta del problema los motiva a perseverar y ser constantes, evitando la
sensación de fracaso o la pérdida de tiempo cuando no encuentran fácilmente la
solución (Ignacio et al., 2006).
Antes de aplicar el método Pólya
específicamente en el paso 1 (entender el problema), se debe considerar la
articulación de la comprensión lectora como herramienta relevante en el proceso
de enseñanza aprendizaje, ya que su carácter transversal potencializa efectos
positivos o negativos en las diferentes áreas (Gutierrez y Salmerón, 2012). Además,
las dificultades en comprensión lectora se transfieren al resto de las áreas
curriculares y en consecuencia se obtienen desempeños bajos, lo cual hace
imperativo la articulación del área de lenguaje a las demás áreas del plan de
estudios de forma intencionada a través de los diferentes programas del ciclo
educativo (Hines, 2009).
Compresión lectora en los enunciados
matemáticos
Para Vallés (2005) “la compresión
lectora desde un enfoque cognitivo, se ha considerado como un producto y como
un proceso. De este modo, el producto sería el resultante entre la interacción
del lector y el texto” (p.50). Además, la comprensión lectora implica comprender
lo que el autor quiere expresar, a veces mediante imágenes, buscando que el
lector descubra el mensaje y saque sus propias conclusiones, generando así un
nuevo conocimiento.
Asimismo, la lectura es una herramienta
de comprensión para los alumnos pues mediante esta se consigue acceder a la
cultura y al aprendizaje en las diferentes áreas. Además, con una orientación
adecuada se puede lograr acceder al conocimiento escrito mediante la búsqueda y
localización de información en diversidad de textos escritos; también es un
elemento útil a la hora de resolver problemas e interpretar gráficos, analizar
datos, mapas, y disfrutar de los proceso léxicos, entre otras actividades (Vallés,
2005). En este orden, “leer es el proceso mediante el cual se comprende el
texto escrito” (Solé, 2012 como se citó en Jiménez, 2014, p. 68), lo cual
implica una interacción entre el texto y contexto que sea de interés para el
lector.
En el campo de las matemáticas, el
trabajo de comprensión lectora se hace obligatorio para guiar al alumno de
manera intencionada a través de una serie de herramientas o elementos que le
permitan alcanzar la comprensión del texto leído, permitiendo el
fortalecimiento de las habilidades en el análisis semántico de los contenidos
verbales y la incorporación de diferentes estrategias pedagógicas encaminadas a
desarrollar competencias relacionadas al significado de las palabras, conceptos
y las relaciones implicadas en el proceso resolutor (Castro, 1995). Además, el
fortalecimiento de la comprensión lectora en textos matemáticos posibilita la
decodificación de los símbolos escritos en el enunciado, los cuales se plasman
en esquemas metales que contengan la información relevante en la construcción
de un plan (Juidías y Rodríguez, 2007).
Estudios correlacionales como el de Can
(2020), han demostrado que la compresión lectora tiene un efecto directo y
parcialmente positivo en los resultados alcanzados en competencias de razonamiento
lógico y resolución de problemas matemáticos, y los mejores resultados se
relacionan con las capacidades de los estudiantes para hacer inferencias; lo
cual destaca el papel mediador que cumple la comprensión lectora en la
competencia lógico-matemática. Por esta razón, el autor sugiere implementar en
los planes de estudio esquemas que apoyen la alfabetización haciendo
comprensible los aspectos relevantes en el desarrollo de los diferentes ejercicios
matemáticos.
Otros estudios relacionados al
componente longitudinal han corroborado el papel que cumple la comprensión de
textos en la escuela primaria como predictor de las habilidades de resolución
de problemas matemáticos en la escuela secundaria. Los hallazgos mostraron, en
primer lugar, que la comprensión de textos en el cuarto grado juega un papel
predictor importante en las competencias adquiridas para la resolución de
problemas matemáticos en el séptimo grado. Así, la compresión de textos no solo
cumple un propósito inmediato en el proceso resolutor, sino, que dichas
habilidades orientan al estudiante en esquemas mucho más complejos a lo largo
del ciclo educativo (Björn et al., 2016).
Lo anterior, hace indispensable enseñar
los aspectos sintácticos que se encuentran al interior de todo enunciado
problema, los cuales están asociados a las diversas características del mismo texto
en relación con el orden y las palabras de su contenido. Como lo expresa Castro
(1995), la formulación lingüística del problema se constituye en uno de los
aspectos más importante en el proceso de comprensión lectora de los problemas
verbales; se refiere, a la vez, que cuando se abordan enunciados tanto de
estructuras multiplicativas como aditivas y en su interior o en su expresión
lingüística se generan cambios, en la misma categoría, es decir, sin alterar el
significado del enunciado, se afecta su comprensión.
En el proceso resolutor es necesario
examinar cada una de las palabras, las cuales no juegan el mismo papel en el
planteamiento del problema. Según Puig y Cerdán (1989) se diferencian en las
que aportan información para la elección de la operación a realizar y las que
suelen contextualizar el problema o delimitarlo de algún modo. Las palabras que
influyen en la determinación de los procesos algorítmicos se denominan palabras
claves. De igual forma, la superación del resultado matemático está determinado
por asociación de las palabras claves y la operación matemática que representa
(Castro et al., 1992).
Sin embargo, trabajar los problemas
matemáticos de forma independiente con la identificación de palabras claves como
única estrategia pedagógica, no es suficiente para obtener resultados óptimos
en pruebas estandarizadas. De hecho, estudio realizado por la universidad de
Texas en 42 escuelas al sur de Estados unidos, demostró que resaltar o subrayar
las palabras claves y tratar de tachar cualquier información en el problema que
no necesiten usar, no garantiza la correcta lectura de los textos, la
compresión y el planteamiento de los problemas matemáticos (Pearce et al.,
2013).
Así, el logro en cada una de las fases
del proceso resolutorio pasa por la identificación de la idea principal del
texto, el análisis global, la síntesis del enunciado y la anticipación que se
requiere para filtrar y organizar la información necesaria en el logro de los
objetivos; no es suficiente reconocer las palabras, frases, decodificar el
significado y sentido del problema matemático para obtener los resultados
esperados. Se debe contar con la capacidad de comprender la información para
desarrollar un planteamiento acorde a los requerimientos del ejercicio (Durán y
Bolaño, 2013).
Para desarrollar aprendizajes
significativos en los estudiantes, el docente debe comprender lo que representa
un problema matemático en cuanto a su taxonomía, características y etapas de
resolución, así como las estrategias para lograr avances importantes en los
procesos formativos, de modo que se construyan múltiples enunciados acorde al
contexto del estudiante los cuales deben implicar un reto cognoscitivo al
lograr resolverlos (Pérez y Ramírez, 2011). Bajo estos parámetros, el éxito en
la adquisición de conocimientos matemáticos por parte del estudiante recae en
la capacidad que tiene el docente para articular la teoría y la practica
mediante múltiples esquemas comprensibles que motiven y dinamicen los procesos
en el aula de clase.
Igualmente, el docente debe acompañar el
proceso de aprendizaje mediante diferentes estrategias pedagógicas las cuales
estructuran la mente del estudiante en el análisis, la planificación, la
resolución y la pertinencia de lo realizado para obtener el resultado (Urdiain,
2006). Además, el facilitador de los procesos pedagógicos debe estructurar las
planeación académica en función del fortalecimiento de cada uno de los aspectos
claves en la resolución de problemas, los cuales se articulan como un conjunto
de procedimientos sucesivos para lograr los resultados esperados.
Para complementar, los problemas
matemáticos deben fundamentarse en propuestas pedagógicas que logren
contextualizar los ejercicios planteados mediante situaciones cercanas a la vida
del estudiante, además es importante interiorizar las acciones concretas en el
proceso de resolución mediante material pedagógico que oriente la selección, la
organización y la puesta en marcha de diferentes procedimientos utilizados por
el alumno, igualmente se deben abrir los espacios para la reflexión y el
análisis de los esquemas ideados en la resolución de los ejercicios (Pifarré y
Sanuy, 2001).
En concordancia con lo anterior,
estudios realizados sobre estas dos variables han demostrado la necesidad de
revisar y actualizar el currículo en las escuelas que permitan el
fortalecimiento de las estrategias pedagógicas enfocadas en resolución de
problemas matemáticos con enunciado verbal, mediante una acción intencional y
progresiva en todos los niveles del sistema educativo. Asimismo, los procesos
de comprensión lectora deben desarrollarse en todas las áreas centrando el
enfoque literal, inferencial y crítico (Marín, 2017)
CONCLUSIONES
Las instituciones educativas dentro de
sus planes curriculares deben integrar el área de lenguaje en la resolución de
problemas matemáticos con el propósito de lograr mejores resultados, a través del
diseño de estrategias pedagógicas encaminadas a fortalecer la compresión de los
enunciados con múltiples esquemas satisfactorios y motivantes que acerquen el
estudiante a los procesos mentales necesarios en la construcción y desarrollo
de un plan.
La aplicación de las cuatro fases del
método Pólya como estrategia pedagógica en la resolución de problemas
matemáticos, fortalece los procesos de aprendizaje y provee los conocimientos
necesarios para descubrir nuevas formas y caminos que logren dar respuesta a
los planteamientos requeridos en el enunciado problema. También, el método
Pólya permite la articulación del área de lenguaje y el contexto del estudiante
en los procesos matemáticos, lo cual propicia aspectos emocionales relacionados
con la motivación y le autoconcepto.